【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)函數(shù)在上的最大值.
①求;
②若過點可作出曲線的三條切線,求的范圍.
【答案】(1)見解析;(2)①;②或且.
【解析】
(1)求,令便得到,或,所以討論和2的關(guān)系,即判斷和0的關(guān)系:分,,三種情況,判斷每種情況下的的符號,從而判斷的單調(diào)性;
(2)①對應(1)中的三種情況:,,,判斷在每種情況下在,上的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)在,上的最大值;
②要作的三條切線,則圖象應是曲線,所以,,求,設(shè)切點為,將切點代入切線方程,則這個關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)根,再利用導數(shù)研究三次方程根的情況,即可求得的取值范圍.
(1),令得,,或;
若,即,
,或時,;時,;
在,上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減;
若,即,,
函數(shù)在上單調(diào)遞增;
若,,,或時,;時,;
在,上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
(2)①由(1)知:
當時,在,單調(diào)遞減,在,單調(diào)遞增;
對于此時的的最大值比較,即可;
∵,
時,,∴;
∵時,,∴;
當時,在,上單調(diào)遞增,∴;
當時,在,上單調(diào)遞增,∴;
∴;
②根據(jù)題意,,,
所以設(shè)過點所作切線的切點為,,斜率為;
切線方程為,
∵點在切線上,所以,
將上式整理成:,
則關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)根,且;
令,
則應有三個不同的零點,,令,則,或,,中一個是極大值,一個是極小值;
時,是極小值,是極大值,;
解得;
令,,令,得,,或4;
在,上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增;
可求得,,時,,,且時,;
的解是,;
時,是極大值,是極小值,;
解得,;
∴的解是,且,,且;
綜上得的取值范圍是或且.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓()的離心率為,過橢圓的左焦點和上頂點的直線與圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線與橢圓交于、兩點,點與原點關(guān)于直線對稱,試求四邊形的面積的最大值.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且csin2B﹣bsin(A+B)=0
(1)求角B的大;
(2)設(shè)a=4,c=6,求sinC的值.
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【題目】把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位,縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)后得到函數(shù)的圖象,對于函數(shù)有以下四個判斷:
①該函數(shù)的解析式為;;
②該函數(shù)圖象關(guān)于點對稱;
③該函數(shù)在[,上是增函數(shù);
④函數(shù)在上的最小值為,則.
其中,正確判斷的序號是______.
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【題目】已知數(shù)列、、,對于給定的正整數(shù),記,.若對任意的正整數(shù)滿足:,且是等差數(shù)列,則稱數(shù)列為“”數(shù)列.
(1)若數(shù)列的前項和為,證明:為數(shù)列;
(2)若數(shù)列為數(shù)列,且,求數(shù)列的通項公式;
(3)若數(shù)列為數(shù)列,證明:是等差數(shù)列 .
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【題目】已知函數(shù)的導函數(shù)為.
(1)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)的極值為正數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知:函數(shù),其中.
(Ⅰ)若是的極值點,求的值;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若在上的最大值是,求的取值范圍.
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【題目】南北朝時代的偉大科學家祖暅在數(shù)學上有突出貢獻,他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”. 其含義是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平行平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.如圖,夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為,被平行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面面積分別為,則“相等”是“總相等”的
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
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【題目】數(shù)列的前項和為,記,數(shù)列滿足,,且數(shù)列的前項和為.
(1)① 計算,的值;
② 猜想,滿足的關(guān)系式,并用數(shù)學歸納法加以證明;
(2)若數(shù)列通項公式為,證明:.
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