Question

（2008•閔行區(qū)二模）若等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足

Sn

S2n

為常數(shù)，則稱(chēng)該數(shù)列為S數(shù)列．
（1）判斷a_n=4n-2是否為S數(shù)列？并說(shuō)明理由；
（2）若首項(xiàng)為a₁的等差數(shù)列{a_n}（a_n不為常數(shù)）為S數(shù)列，試求出其通項(xiàng)；
（3）若首項(xiàng)為a₁的各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}為S數(shù)列，設(shè)n+h=2008（n、h為正整數(shù)），求

1

Sn

+

1

Sh

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式找出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出S_n和S_2n，求出

Sn

S2n

等于

1

4

為常數(shù)，所以得到該數(shù)列為S數(shù)列；
（2）設(shè)此數(shù)列的公差為d，根據(jù)首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出S_n和S_2n，因?yàn)榇藬?shù)列為S數(shù)列，得到

Sn

S2n

等于常數(shù)，設(shè)比值等于k，去分母化簡(jiǎn)后得到關(guān)于n的一個(gè)多項(xiàng)式等于0，令其系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)等于0即可求出k和d值，根據(jù)首項(xiàng)和公差d寫(xiě)出該數(shù)列的通項(xiàng)公式即可．
（3）根據(jù)已知條件首項(xiàng)為a₁的各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}為S數(shù)列，設(shè)n+h=2008，利用基本不等式求出

1

Sn

+

1

Sh

的最小值．

解答：解：（1）由a_n=4n-2，得

Sn

S2n

=

1

4

，所以它為S數(shù)列；                       （4分）
（2）假設(shè)存在等差數(shù)列{a_n}，公差為d，
則

Sn

S2n

=

a1n+ 1 2 n(n-1)d

2a1n+ 1 2 •2n(2n-1)d

=k（常數(shù)）（6分）
∴2a₁n+n²d-nd=4a₁kn+4n²dk-2nkd化簡(jiǎn)得d（4k-1）n+（2k-1）（2a₁-d）=0①
由于①對(duì)任意正整數(shù)n均成立，
則

d(4k-1)=0 (2k-1)(2a1-d)=0

解得：

d=2a1≠0 k= 1 4 .

（8分）
故存在符合條件的等差數(shù)列，
其通項(xiàng)公式為：a_n=（2n-1）a₁，其中a₁≠0（10分）
（3）∵SnSh=

1

4

(a1+an)•(a1+ah)•nh=(nh)2

a

2 1

≤(

n+h

2

)4

a

2 1

=10044

a

2 1

（12分）
∴

1

Sn

+

1

Sh

≥

2

SnSh

≥

2

10042a1

=

1

504008a1

．（14分）
其最小值為

1

504008a1

，當(dāng)且僅當(dāng)n=h=1004取等號(hào)                   （16分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，掌握題中的新定義并會(huì)利用新定義化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．