Question

下列四個命題
①在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B；
②S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，若a₁＞0，S₆=S₉，則S₁₅=-15；
③數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，a_n+1+2S_n=n+1，則S₂₀₁₃=1007；
④數(shù)列{a_n}滿足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，則

an

n

的最小值為

53

5

其中正確的命題序號

 

．（注：把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,壓軸題

分析：①由正弦定理知sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，從而可判斷①是否正確；
②根據(jù)等差數(shù)列以及前n項和概念，求出a₈的值，從而求出S₁₅；
③根據(jù)題意，求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，即可計算S₂₀₁₃的值；
④累加法求出a_n=33+n²-n，再求

an

n

的表達式，利用函數(shù)f（n）=

an

n

，求出f（n）的最小值，從而判斷結論是否正確．

解答： 解：對于①，由正弦定理知sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，
∴sinA＞sinB?

a

2R

＞

b

2R

?a＞b，
在△ABC中，“大邊”對“大角”，
∴A＞B，∴①正確；
對于②，∵S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₁＞0，S₆=S₉，
∴a₇+a₈+a₉=3a₈=0，∴S₁₅=15a₈=0，∴②錯誤；
對于③，數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1+2S_n=n+1，
∴a_n+2S_n-1=n，∴a_n+1-a_n+2a_n=1，即a_n+1+a_n=1，
∴a_n=

1，n為正奇數(shù) 0，n為正偶數(shù)

，
∴S₂₀₁₃=1007×1+1006×0=1007，∴③正確；
對于④，數(shù)列{a_n}中，a₁=33，a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2[1+2+…+（n-1）]+33=33+n²-n，
∴

an

n

=

33

n

+n-1；
設f（n）=

33

n

+n-1，∴f′（n）=-

33

n2

+1，
∴則f（n）在（

33

，+∞）上單調遞增，在（0，

33

）上單調遞減，
∵n∈N₊，∴當n=5或6時f（n）有最小值；
又∵

a5

5

=

53

5

，

a6

6

=

21

2

，∴

an

n

的最小值為

a6

6

=

21

2

；∴④錯誤．
綜上，正確的命題是①③．
故答案為：①③．

點評：本題通過命題真假的判斷，考查了正弦定理的應用，等差數(shù)列以及前n項和的應用，數(shù)列的遞推公式以及累加法求通項公式，判斷數(shù)列的單調性等問題，是綜合性題目．