Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，
（1）若直線y=kx+1與函數(shù)f（x）的圖象相切，求實數(shù)k的值；
（2）若函數(shù)g(x)=f(eex)，a＜b，試證明：

g(a)+g(b)

2

＞

g(b)-g(a)

b-a

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用直線y=kx+1與函數(shù)f（x）的圖象相切，有f′(x0)=

1

x0

=k(x0＞0)可得x0=

1

k

，從而可得切點坐標，代入函數(shù)f（x）=lnx，即可求實數(shù)k的值；
（2）證明

g(a)+g(b)

2

＞

g(b)-g(a)

b-a

，只需證明

g(a)+g(b)

2

-

g(b)-g(a)

b-a

＞0，即

[(b-a)e(b-a)-2e(b-a)+(b-a)+2]e-a

2(b-a)

＞0，設(shè)h（t）=te^t-2e^t+t+2（t＞0），證明h（t）在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：∵f（x）=lnx，∴f′(x)=

1

x

(x＞0)（1分）
設(shè)切點坐標（x₀，y₀），
∵直線y=kx+1與函數(shù)f（x）的圖象相切，
∴f′(x0)=

1

x0

=k(x0＞0)可得x0=

1

k

，
代入y=kx+1解出y₀=2（3分）
將切點坐標代入f（x）=lnx得f(

1

k

)=ln

1

k

=2，
∴k=

1

e2

（5分）
（2）證明：g(x)=f(eex)=lneex=ex（6分）
∴

g(a)+g(b)

2

-

g(b)-g(a)

b-a

=

ea+eb

2

-

eb-ea

b-a

=

(b-a)(ea+eb)-2(eb-ea)

2(b-a)

=

[(b-a)(1+eb-a)-2(eb-a-1)]e-a

2(b-a)

=

[(b-a)e(b-a)-2e(b-a)+(b-a)+2]e-a

2(b-a)

（7分）
∵b＞a且e-a＞0∴

e-a

2(b-a)

＞0（8分）
設(shè)h（t）=te^t-2e^t+t+2（t＞0），∴h'（t）=te^t-e^t+1（t＞0）（9分）
設(shè)m（t）=te^t-e^t+1（t＞0），
∴m'（t）=te^t＞0（t＞0）（10分）
∴m（t）在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又m（0）=0，∴m（t）＞0，即h'（t）＞0在t∈（0，+∞）恒成立．
∴h（t）在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（0）=0，∴h（t）＞0在t∈（0，+∞）恒成立．
∴

[(b-a)e(b-a)-2e(b-a)+(b-a)+2]e-a

2(b-a)

＞0，
∴

g(a)+g(b)

2

-

g(b)-g(a)

b-a

＞0
即a＜b時，

g(a)+g(b)

2

＞

g(b)-g(a)

b-a

（12分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學生分析解決問題的能力，難度大．