Question

4．定義函數(shù)f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.5]=1，[-1.3]=-2，當(dāng)x∈[0，n），（n∈N^*）時，設(shè)函數(shù)f（x）的值域為A，記集合A中的元素個數(shù)為a_n，則（ i）a₃=4，（ ii）式子$\frac{{{a_n}+90}}{n}$的最小值為13．

Answer 1

分析 先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，進(jìn)而得到$\frac{{a}_{n}+90}{n}$，用基本不等式求解．

解答 解：根據(jù)題意：[x]=$\left\{\begin{array}{l}0，x∈[0，1）\\ 1，x∈[1，2）\\ 2，x∈[2，3）\\…\\ n-1，x∈[n-1，n）\end{array}\right.$，
∴x[x]=$\left\{\begin{array}{l}0，x∈[0，1）\\ x，x∈[1，2）\\ 2x，x∈[2，3）\\…\\（n-1）x，x∈[n-1，n）\end{array}\right.$，
∴[x[x]]在各區(qū)間中的元素個數(shù)是：1，1，2，3，…，n-1
∴a_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1，
∴a₃=4，
∴$\frac{{a}_{n}+90}{n}$=$\frac{1}{2}$（n+$\frac{180}{n}$-1），所以當(dāng)n=13或14時，最小值為13．
故答案為：4，13．

點評 本題主要通過取整函數(shù)來建立新函數(shù)，進(jìn)而研究其定義域和值域．