Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分別是A₁B₁，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AB⊥AC₁；
（Ⅱ）證明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）求二面角M-AN-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證明：AB⊥AC₁，只要證明AB垂直平面ACC₁A₁內(nèi)的兩條相交直線AC和A₁A，即可證明AB⊥平面ACC₁A₁，從而證明AB⊥AC₁．
（Ⅱ）設(shè)AC的中點(diǎn)為D，連接DN，A₁D，只要證明A₁D∥MN，即可證明MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）法一：作出二面角M-AN-B的平面角，通過解三角形可求二面角M-AN-B的余弦值．
法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積，求解二面角M-AN-B的余弦值．
解答：解法一：
（Ⅰ）證明：因?yàn)镃C₁⊥平面ABC，
所以AC是AC₁在平面ABC內(nèi)的射影，（2分）
由條件可知AB⊥AC，
所以AB⊥AC₁．（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)AC的中點(diǎn)為D，
連接DN，A₁D．

因?yàn)镈，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，
所以DN平行等于AB．
又A₁M=A₁B₁，A₁B_{1平行等于}AB，
所以A₁M平行等于DN．
所以四邊形A₁DNM是平行四邊形．
所以A₁D∥MN．（7分）
因?yàn)锳₁D?平面ACC₁A₁，MN?平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁．（9分）
（Ⅲ）如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為H，連接MH，
所以MH∥BB₁．

因?yàn)锽B₁⊥底面ABC，
所以MH⊥底面ABC．
在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)H做HG⊥AN，垂足為G．
連接MG，則MG⊥AN．
所以∠MGH是二面角M-AN-B的平面角．（12分）
因?yàn)镸H=BB₁=2，
由△AGH∽△BAC，得HG=．
所以MG==．
所以cos∠MGH==．
二面角M-AN-B的余弦值是．（14分）
解法二：
依條件可知AB，AC，AA₁兩兩垂直．
如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．

根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo)：
A（0，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），A₁（0，0，2），B₁（0，2，2），C₁（-1，0，2），M（0，1，2），．
證明：（Ⅰ）：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213806737267892/SYS201310232138067372678015_DA/9.png">，，
所以=0×（-1）+2×0+0×2=0．（2分）
所以．
即AB⊥AC₁．（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213806737267892/SYS201310232138067372678015_DA/13.png">，是平面ACC₁A₁的一個(gè)法向量，
且=，所以．（7分）
又MN?平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁．（9分）
（Ⅲ）設(shè)n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213806737267892/SYS201310232138067372678015_DA/18.png">，，
由得解得平面AMN的一個(gè)法向量n=（4，2，-1）．
由已知，平面ABC的一個(gè)法向量為m=（0，0，-1）．（12分）
設(shè)二面角M-AN-B的大小為θ，則==．
二面角M-AN-B的余弦值是．（14分）
點(diǎn)評：本題考查直線與直線的垂直，直線與平面的平行，二面角的知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．