【題目】設橢圓E: , 兩點,O為坐標原點
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在圓心在原點的圓,使該圓的任意一條切線與橢圓E 恒有兩個交點A、B,且 ?若存在,寫出該圓的方程;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:因為橢圓E: (a,b>0)過M(2, ),N( ,1)兩點,

所以 ,解得

所以 ,

所以橢圓E的方程為


(2)解:假設存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且 ,設該圓的切線方程為y=kx+m.

解方程組 得x2+2(kx+m)2=8,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,

則△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣8)=8(8k2﹣m2+4)>0,

即8k2﹣m2+4>0,

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

要使 ,需使x1x2+y1y2=0,即 ,

所以3m2﹣8k2﹣8=0,所以

又8k2﹣m2+4>0,所以 ,

所以 ,即 ,

因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為 ,

所以 ,所以 ,

所以所求的圓為 ,此時圓的切線y=kx+m都滿足

而當切線的斜率不存在時,切線為 與橢圓 的兩個交點為 ,滿足 ,

綜上,存在圓心在原點的圓 ,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且


【解析】(1)利用待定系數(shù)法,可求橢圓E的方程;(2)分類討論,設出切線方程與橢圓方程聯(lián)立,要使 ,需使x1x2+y1y2=0,結合韋達定理,即可求解.

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