【題目】設橢圓E: 過
,
兩點,O為坐標原點
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在圓心在原點的圓,使該圓的任意一條切線與橢圓E 恒有兩個交點A、B,且 ?若存在,寫出該圓的方程;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:因為橢圓E: (a,b>0)過M(2,
),N(
,1)兩點,
所以 ,解得
,
所以 ,
所以橢圓E的方程為
(2)解:假設存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且 ,設該圓的切線方程為y=kx+m.
解方程組 得x2+2(kx+m)2=8,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,
則△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣8)=8(8k2﹣m2+4)>0,
即8k2﹣m2+4>0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則
.
要使 ,需使x1x2+y1y2=0,即
,
所以3m2﹣8k2﹣8=0,所以 .
又8k2﹣m2+4>0,所以 ,
所以 ,即
或
,
因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為 ,
所以 ,所以
,
所以所求的圓為 ,此時圓的切線y=kx+m都滿足
或
,
而當切線的斜率不存在時,切線為 與橢圓
的兩個交點為
或
,滿足
,
綜上,存在圓心在原點的圓 ,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且
【解析】(1)利用待定系數(shù)法,可求橢圓E的方程;(2)分類討論,設出切線方程與橢圓方程聯(lián)立,要使 ,需使x1x2+y1y2=0,結合韋達定理,即可求解.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,△ABD是邊長為2的正三角形,PC⊥底面ABCD,AB⊥BP,BC= .
(1)求證:PA⊥BD;
(2)若PC=BC,求二面角A﹣BP﹣D的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知D點在⊙O直徑BC的延長線上,DA切⊙O于A點,DE是∠ADB的平分線,交AC于F點,交AB于E點.
(1)求∠AEF的度數(shù);
(2)若AB=AD,求 的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在斜三棱柱A1B1C1-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,側面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中點,求證:AD⊥CC1;
(2)過側面BB1C1C的對角線BC1的平面交側棱于M,若AM=MA1,求證:截面MBC1⊥側面BB1C1C.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左,右焦點分別為F1, F2,直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸,動直線l2垂直l1于點P,線段PF2的垂直平分線交l2于點M.
(1)求點M的軌跡的方程;
(2)設與x軸交于點Q,
上不同于點Q的兩點R、S,且滿足
,求
的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角△ABC中,AB⊥BC,D為BC邊上異于B、C的一點,以AB為直徑作⊙O,并分別交AC,AD于點E,F(xiàn).
(1)證明:C,E,F(xiàn),D四點共圓;
(2)若D為BC的中點,且AF=3,F(xiàn)D=1,求AE的長.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的右焦點為
,不垂直
軸且不過
點的直線
與橢圓
相交于
兩點.
(1)若直線經過點
,則直線
、
的斜率之和是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由;
(2)如果,原點到直線
的距離為
,求
的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖在長為10千米的河流的一側有一條觀光帶,觀光帶的前一部分為曲線段
,設曲線段
為函數(shù)
(單位:千米)的圖象,且圖象的最高點為
;觀光帶的后一部分為線段
.
(1)求函數(shù)為曲線段的函數(shù)
的解析式;
(2)若計劃在河流和觀光帶
之間新建一個如圖所示的矩形綠化帶
,綠化帶僅由線段
構成,其中點
在線段
上.當
長為多少時,綠化帶的總長度最長?
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com