【題目】如圖,E是以AB為直徑的半圓O上異于A、B的點(diǎn),矩形ABCD所在的平面垂直于半圓O所在的平面,且AB=2AD=2.
(1)求證:;
(2)若異面直線AE和DC所成的角為,求平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1) 由面面垂直的性質(zhì)可證得.再線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得證;
(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為軸,過點(diǎn)與平行的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.由二面角的向量求解方法可求得平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值.
(1) ∵平面垂直于圓所在的平面,
兩平面的交線為平面,
∴垂直于圓所在的平面.又在圓所在的平面內(nèi),
∴.∵是直角,∴,
又,∴平面,
∴.
(2)如圖, 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為軸,
過點(diǎn)與平行的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
由異面直線和所成的角為,,
知,∴,
∴,由題設(shè)可知 ,,
∴,.
設(shè)平面的一個法向量為,
由,即
得,,取,得.
∴.又平面的一個法向量為,
∴.
平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記數(shù)列的前項和為,若存在實數(shù)H,使得對任意的,都有,則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”.下列說法正確的是( )
A.若是等差數(shù)列,且公差,則是“和有界數(shù)列”
B.若是等差數(shù)列,且是“和有界數(shù)列”,則公差
C.若是等比數(shù)列,且公比,則是“和有界數(shù)列”
D.若是等比數(shù)列,且是“和有界數(shù)列”,則的公比
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,,底面是梯形,,,,為棱上一點(diǎn).
(1)若點(diǎn)為的中點(diǎn),證明:平面.
(2) ,試確定的值使得二面角的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),a,)在點(diǎn)處的切線方程是.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)設(shè)函數(shù),若在上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從一批蘋果中,隨機(jī)抽取50個,其重量(單位:克)的頻數(shù)分布表如下:
(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在的頻率;
(2)用分層抽樣的方法從重量在和的蘋果中共抽取4個,其中重量在的有幾個?
(3)在(2)中抽出的4個蘋果中,任取2個,寫出所有可能的結(jié)果,并求重量在和中各有1個的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】騰飛中學(xué)學(xué)生積極參加科技創(chuàng)新大賽,在市級組織的大賽中屢創(chuàng)佳績.為了組織學(xué)生參加下一屆市級大賽,了解學(xué)生報名參加社會科學(xué)類比賽(以下稱為A類比賽)和自然科學(xué)類比賽(以下稱為B類比賽)的意向,校團(tuán)委隨機(jī)調(diào)查了60名男生和40名女生調(diào)查結(jié)果如下:60名男生中,15名不準(zhǔn)備參加比賽,5名準(zhǔn)備參加A類比賽和B類比賽,剩余的男生有準(zhǔn)備參加A類比賽,準(zhǔn)備參加B類比賽,40名女生中,10名不準(zhǔn)備參加比賽,25名準(zhǔn)備參加A類比賽,5名準(zhǔn)備參加B類比賽.
(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),完成如2×2列聯(lián)表(A類比賽和B類比賽都參加的學(xué)生需重復(fù)統(tǒng)計):
A類比賽 | B類比賽 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
總計 |
(2)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加A類比賽或B類比賽與性別有關(guān)?
附:K2.
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新冠疫情發(fā)生后,酒精使用量大增,某生產(chǎn)企業(yè)調(diào)整設(shè)備,全力生產(chǎn)與兩種不同濃度的酒精,按照計劃可知在一個月內(nèi),酒精日產(chǎn)量(單位:噸)與時間n(且)成等差數(shù)列,且,.又知酒精日產(chǎn)量所占比重與時間n成等比數(shù)列,酒精日產(chǎn)量所占比重與時間n的關(guān)系如下表():
酒精日產(chǎn)量所占比重 | …… | |||
時間n | 1 | 2 | 3 | …… |
(1)求,的通項公式;
(2)若,求前n天
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