Question

關于x的方程x²+x•sin2θ-sinθ•cotθ=0的兩根為α、β且0＜θ＜2π，若數列1，（

1

α

+

1

β

），（

1

α

+

1

β

）^2…的前2008項和為0，則θ的值為

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由根與系數關系得到α、β的和與積，求出

1

α

+

1

β

，得到數列數列1，（

1

α

+

1

β

），（

1

α

+

1

β

）²…為等比數列，由等比數列的求和公式求出其前2008項的和，由和為0求得sinθ的值，結合θ的范圍得答案．

解答： 解：∵方程x²+x•sin2θ-sinθ•cotθ=0（其中0＜θ＜2π）的兩實根為α、β，
∴△=sin²2θ+4sinθ•cotθ≥0，
即sin²θ•cos²θ+cosθ≥0  ①
α+β=-sin2θ，αβ=-sinθ•cotθ=-cosθ，

1

α

+

1

β

=

α+β

αβ

=

-sin2θ

-cosθ

=2sinθ，
顯然2sinθ≠1且2sinθ≠0，否則數列1，（

1

α

+

1

β

），（

1

α

+

1

β

）^2…的前2008項和不為0，
∴數列1，（

1

α

+

1

β

），（

1

α

+

1

β

）²…是首項為1，公比為2sinθ的等比數列，
則其前2008項的和為

1-(2sinθ)2008

1-2sinθ

=0．
即（2sinθ）²⁰⁰⁸=1，2sinθ=-1，sinθ=-

1

2

．
∵0＜θ＜2π，
∴θ=

7π

6

或θ=

11π

6

．
驗證θ=

7π

6

或θ=

11π

6

時①成立，
故答案為：

7π

6

或

11π

6

．

點評：本題考查根與系數的關系，具體涉及到三角函數的恒等變換和基本性質，考查了等比數列的前n項和，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，是中檔題．