【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b﹣a(a,b∈R).
(1)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞),求實數(shù)a,b的值;
(2)設(shè)a=2,若不等式f(x)>b2﹣3b對任意實數(shù)x都成立,求實數(shù)b的取值范圍;
(3)設(shè)b=3,解關(guān)于x的不等式組

【答案】
(1)解:因為不等式f(x)=x2+ax+b﹣a>0的解集為(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞),

所以由題意得﹣1,3為函數(shù)x2+ax+b﹣a=0的兩個根,

所以 ,解得a=﹣2,b=﹣5


(2)解:當a=2時,x2+2x+b﹣2>b2﹣3b恒成立,即x2+2x﹣2>b2﹣4b恒成立.

因為x2+2x﹣2=(x+1)2﹣3≥﹣3,所以b2﹣4b<﹣3,

解之得1<b<3,所以實數(shù)b的取值范圍為1<b<3


(3)當b=3時,f(x)=x2+ax+3﹣a,f(x)的圖象的對稱軸為

(。┊敗鳎0,即﹣6<a<2時,由 ,得x>1,

(ⅱ)當△=0,即a=2或﹣6時

①當a=2時,由 ,得 ,所以x>1,

②當a=﹣6時,由 ,得 ,所以1<x<3或x>3,

(ⅲ)當△>0,即a<﹣6或a>2時,方程f(x)=0的兩個根為 ,

①當a<﹣6時,由 知1<x1<x2,所以 的解為1<x<x1或x>x2,

②當a>2時,由 知x1<x2<1,所以 的解為x>1,

綜上所述,

當a≤﹣6時,不等式組的解集為 ,

當a>﹣6時,不等式組的解集為(1,+∞)


【解析】(1)把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題,利用方程的根建立二次一次方程組,求得a和b的值.(2)把不等式整理成x2+2x﹣2>b2﹣4b確定等號左邊的最小值,進而確定等號右邊的范圍求得b的范圍.(3)對判別式△大于0和小于0進行分類討論,通過解不等式求得解集.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減).

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