Question

已知函數f（x）=2lnx-x．
（1）寫出函數f（x）的定義域，并求其單調區(qū)間；
（2）已知曲線y=f（x）在點（x，f（x））處的切線是y=kx-2，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區(qū)間．
（2）先求出在x=x處的導數，求出切線的斜率，又過點（x，f（x））求出切線方程，利用所求切線與y=kx-2是同一直線，建立等量關系，求出k即可．
解答：解：（Ⅰ）函數y=f（x）的定義域為：（0，+∞）．（1分）
∵f（x）=2lnx-x，∴．
令f'（x）=0，則x=2．（3分）
當x在（0，+∞）上變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表
∴函數y=f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，2），單調遞減區(qū)間是（2，+∞）．（6分）
（Ⅱ）由題意可知：f（x）=2lnx-x，（7分）
曲線y=f（x）在點（x，f（x））處的切線的斜率為．（8分）
∴切線方程為：．（9分）
∴．
∴．（10分）
∵切線方程為y=kx-2，
∴2lnx-2=-2．
∴x=1．
∴曲線y=f（x）在點（x，f（x））處的切線的斜率．（13分）
點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，曲線某點處的切線等基礎知識，考查利用數學知識分析問題、解決問題的能力．