Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab的零點是-3和2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當函數(shù)f（x）的定義域是[0，1]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)函數(shù)的零點和方程根的基本關(guān)系可知-3和2就是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個根，再由韋達定理可得到a，b的值，進而可求出函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）先求出一元二次函數(shù)的對稱軸，再由一元二次函數(shù)的性質(zhì)可得到函數(shù)在[0，1]的值域，進而可得到函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）-3和2就是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個根，由韋達定理
-

b-8

a

=-3+2=-1  解得b-8=a

-a-ab

a

=-1-b=-3×2=-6，解得b=5；
代入上面可知a=-3
所以f（x）=-3x²-3x-12
（Ⅱ）當f（x）=-3（x²+x+4）  對稱軸為x=-

1

2

不在區(qū)間[0，1]內(nèi)，所以函數(shù)在[0，1]內(nèi)為單調(diào)函數(shù)
∵f（0）=-12       f（1）=-18
所以函數(shù)在[0，1]內(nèi)的值域為[-18，-12]
∴函數(shù)f（x）的最大值是18，最小值是12．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點和方程根的基本關(guān)系和一元二次方程的韋達定理的應(yīng)用以及一元二次函數(shù)的最值問題．