【題目】已知{e1,e2,e3}是空間的一個基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,試判斷{}能否作為空間的一個基底?若能,試以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,請說明理由.

【答案】能，=17-5-30。

【解析】

(1)假設(shè)共面,則=x+y成立，

解方程組得方程組沒有解，所以不共面,所以能作為空間的一個基底.(2) 設(shè)=p+q+z,解方程組求出p,q,z得解.

能作為空間的一組基底。

假設(shè)共面,由向量共面的充要條件知存在實數(shù)x,y使=x+y成立

又因為是空間的一個基底,

所以不共面.

因此此方程組無解,

即不存在實數(shù)x,y使=x+y,

所以不共面.

故{}能作為空間的一個基底.

設(shè)=p+q+z,

則有

因為為空間的一個基底,

所以解得

故=17-5-30.

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