Question

2．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，BC=BB₁，且A₁C∩AC₁=D，BC₁∩B₁C=E，連結DE．
（1）求證：A₁B₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）求證：A₁C⊥BC₁；
（3）求證：DE⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）由在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，可證明A₁B₁⊥B₁C₁，又BB₁⊥A₁B₁，即可證明A₁B₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）由題意可得BC₁⊥B₁C，A₁B₁⊥BC₁；可證明BC₁⊥平面AB₁C，即可證明BC₁⊥A₁C．
（3）由題意可得DE∥A₁B₁由（1）可證明：DE⊥平面BB₁C₁C．

解答 證明：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
∴A₁B₁⊥B₁C₁；
∵BB₁⊥A₁B₁，B₁C₁∩BB₁=B₁．
∴A₁B₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）∵BC=BB₁，∴由題意可得BB₁C₁C為正方形，∴BC₁⊥B₁C，
∵A₁B₁⊥BC₁；A₁B₁∩B₁C=B₁；
∴BC₁⊥平面AB₁C，A₁C⊥平面AB₁C；
∴BC₁⊥A₁C．
（3）∵由題意可得D，E分別為A₁C，B₁C的中點，
∴DE∥A₁B₁
∴由（1）可證明：DE⊥平面BB₁C₁C．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，空間中直線與直線之間的位置關系，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．