Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x-2）=-f（x）對(duì)一切x∈R都成立，又當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x³，則下列四個(gè)命題：①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；②當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=（2-x）³； ③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱；④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱．其中正確的命題是     ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)，逐一檢驗(yàn)答案，將條件等價(jià)轉(zhuǎn)化變形，綜合考慮函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、解析式，分析可得答案．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∵f（x-2）=-f（x）對(duì)一切x∈R都成立，∴f（x-4）=f（x），∴函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
故①正確．
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，x-2∈∈[-1，1]，f（x-2）=（x-2）³=-f（x），
∴f（x）=（2-x）³，故②正確．
∵f（x-2）=-f（x），∴f（1+x）=f（1-x），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，
故③正確．
∵當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=（2-x）³，∴f（2）=0，
∵f（x-2）=-f（x），∴f（-x-2）=-f（-x）=f（x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=-f（x-2），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱．
故正確的命題有  ①②③④，
故答案選  ①②③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，以及運(yùn)用函數(shù)的奇偶性和周期性求函數(shù)解析式及函數(shù)值、函數(shù)圖象的對(duì)稱性．