設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：
①對正數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當(dāng)x＞1時，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和f(
19
)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．
分析：（I）對于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、f（
1
9
）的值；且當(dāng)x＞1時，f（x）＜0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義討論函數(shù)的單調(diào)性．
（II）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，解不等式即可求得結(jié)果．
解答：解：（I）∵函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，
對正數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f（9）+f（
1
9
）=f（1）=0，
得f（
1
9
）=2．
（II）設(shè)0＜x1＜x2＜+∞，由條件（1）可得f（x2）-f（x1）=f（
x2
x1
），
因
x2
x1
＞1，由（2）知f（
x2
x1
）＜0，
所以f（x2）＜f（x1），
即f（x）在R+上是遞減的函數(shù)．
由條件（1）及（I）的結(jié)果得：f[x（2-x）]＜f（
1
9
），
由函數(shù)f（x）在R+上的遞減性，得：
x＞0
2-x＞0
x(2-x)＞
1
9
，
由此解得x的范圍是（1-
2
2
3
，1+
2
2
3
）．
點評：考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義探討抽象函數(shù)的單調(diào)性問題，對于解決抽象函數(shù)的一般采用賦值法，求某些點的函數(shù)值和證明不等式等，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．
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設(shè)函數(shù)y=f （x）是定義域為R的奇函數(shù)，且滿足f （x-2）=-f （x）對一切x∈R恒成立，當(dāng)-1≤x≤1時，f （x）=x3，則下列四個命題：
①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
②f（x）在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）3．
③f（x）在(
3
2
，f(
3
2
))處的切線方程為3x+4y-5=0．
④f（x）的圖象的對稱軸中，有x=±1，其中正確的命題是（　�。�
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④

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設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g（x）=f（x）-2x在區(qū)間[2，3]上的值域為[-2，6]，則函數(shù)g（x）在[-12，12]上的值域為（　�。�

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設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在正實數(shù)上的增函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求證：f（
xy
）=f（x）-f（y）；
（2）若f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，又當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則下列五個命題：
①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
②當(dāng)x∈[1，3]時，f（x）=（ x-2）3；
③直線x=±1是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸；
④點（2，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心；
⑤函數(shù)y=f（x）在點（
3
2
，f（
3
2
））處的切線方程為3x-y-5=0．
其中正確的是
①③
①③
．（寫出所有正確命題的序號）

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