Question

如圖1，平面四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD，對角線AC與BD交于點O，AO=4，CO=2．將△BCD沿BD向上折起得四面體ABC′D（如圖2）．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面AOC′；
（Ⅱ）若AC′=2

5

，二角面B-AC′-D的余弦值為

11

21

，求BD的長．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用直線與平面垂直的判定定理直接證明：BD⊥平面AOC′；
（Ⅱ）判斷∠BED為二面角B-AC′-D的平面角，通過AC′=2

5

，二角面B-AC′-D的余弦值為

11

21

，直接求出BD的長．

解答： （Ⅰ）證明：在圖中，因為AB=AD，BC=CD，所以在直線AC為線段BD的中垂線，所以，BD⊥AO，BD⊥CO，則在圖2中有BD⊥AO，BD⊥C′O，而AO∩C′O=O，所以BD⊥平面AOC′．
（Ⅱ）解：由條件可知，AO=4，C′O=2，AC′=2

5

，即AC′²=AO²+C′O²，
所以AO⊥C′O，所以AO⊥C′O，
過O作OE⊥AC′，垂足為E，連結(jié)BE，DE，由（Ⅰ）可知BD⊥平面AOC′，
所以BE⊥AC′，DE⊥AC′，所以∠BED為二面角B-AC′-D的平面角，
在Rt△AOC′中，由條件可得OE=

4

5

，設(shè)BD=2a，則BO=DO=a，
所以BE=DE=

a2+( 4 5 )2

=

a2+ 16 5

，
在△BDE中，由余弦定理得BD²=BE²+DE²-2BE•DEcos∠BED，
即：4a²=2（a²+

16

5

）-2（a²+

16

5

）•

11

21

，
解得a=1，所以BD=2．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理，二面角的平面角的求法與應(yīng)用，考查空間幾何體的應(yīng)用．