Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（2，0），且橢圓C的離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若動點P在直線x=-1上，過P作直線交橢圓C于M，N兩點，且P為線段MN中點，再過P作直線l⊥MN．證明：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）點（2，0）在橢圓上，將其代入橢圓方程，又因為c=

1

2

，解方程組得到a，b，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）點P在直線x=-1上，則可得P（-1，y₂），當直線MN的斜率存在時設斜率為k，得到直線MN中點，根據(jù)點P的橫坐標解得k，由l⊥MN可得直線l的斜率及其含參數(shù)y₃的方程，分析得直線是否恒過定點，注意還要討論直線MN的斜率不存在的情況．

解答： （Ⅰ）解：∵點（2，0）在橢圓上，
∴

4

a2

+

0

b2

=1，解得a²=4，
∵橢圓C的離心率為

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，
∴

a2-b2

a2

=

1

4

，解得b²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）證明：設P（-1，y₀），y0∈(-

3

2

，

3

2

)，
①當直線MN的斜率存在時，
設直線MN的方程為y-y₀=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x2 ，y2），
由

x2 4 + y2 3 =1 y-y0=k(x-1)

，
得：(3+4k2)x2+(8ky0+8k2)x+(4y02+8ky0+4k2-12)=0，
∴x1+x2=-

8ky0+8k2

3+4k2

，
∵P為MN中點，∴

x1+x2

2

=-1，即-

8ky0+8k2

3+4k2

=-2，
∴kMN=

3

4y0

(y0≠0)．
∵l⊥⊥MN，∴kl=-

4y0

3

，
∴直線l的方程為y-y0=-

4y0

3

(x+1)，
即y=-

4y0

3

(x+

1

4

)，
∴直線l恒過定點（-

1

4

，0）．
②當直線MN的斜率不存在時，
直線MN的方程為x=-1，
此時直線l為x軸，也過點（-

1

4

，0）．
綜上所述，直線l恒過定點（-

1

4

，0）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過定點的證明，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．