Question

已知F₁、F₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是上頂點(diǎn)．
（1）求圓C：（x+1）²+（y+2）²=1關(guān)于直線(xiàn)AF₂對(duì)稱(chēng)的圓C'的方程；
（2）橢圓上有兩點(diǎn)M、N，若M、N滿(mǎn)足，（點(diǎn)M在x軸上方），問(wèn)：圓C'上是否存在一點(diǎn)Q，使MQ⊥NQ？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵F₁、F₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是上頂點(diǎn)
∴F₂（1，0），A（0，1）
∴直線(xiàn)AF₂的方程為x+y﹣1=0
圓C：（x+1）²+（y+2）²=1的圓心坐標(biāo)為C（﹣1，﹣2）
設(shè)C（﹣1，﹣2）關(guān)于直線(xiàn)AF₂對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）
∴∴
即C（﹣1，﹣2）關(guān)于直線(xiàn)AF₂對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）
∴圓C：（x+1）²+（y+2）²=1關(guān)于直線(xiàn)AF₂對(duì)稱(chēng)的圓C'的方程為（x﹣3）²+（y﹣2）²=1；
（2）圓C'上不存在點(diǎn)Q，使MQ⊥NQ．
∵F₁是橢圓的左焦點(diǎn)，∴F₁（﹣1，0）
∵橢圓上點(diǎn)M滿(mǎn)足（點(diǎn)M在x軸上方），∴M（﹣1，）
∵橢圓上有兩點(diǎn)M、N，若M、N滿(mǎn)足
∴N（﹣1，﹣）
假設(shè)圓C'上存在一點(diǎn)Q，使MQ⊥NQ，
∵圓C'的方程為（x﹣3）²+（y﹣2）²=1
∴設(shè)Q（3+cosθ，2+sinθ）∴，
∴=0∴
∴
∴①
∵，
∴①式不成立，即假設(shè)不成立
∴圓C'上不存在點(diǎn)Q，使MQ⊥NQ．