Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，且過點（

2

，1）過點C（-1，0）且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若線段AB的中點的橫坐標(biāo)為-

1

2

，求斜率k的值；
（Ⅲ）在x軸上是否存在點M，使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與k無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由離心率為

6

3

和a、b、c的關(guān)系列出方程，把點（

2

，1）代入橢圓方程列出方程，聯(lián)立后求出a²、b²，代入橢圓的方程即可；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直線L的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y后由韋達(dá)定理和條件求出k的值；
（Ⅲ）先假設(shè)存在點M符合題意，根據(jù)韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積運算化簡

MA

•

MB

+

5

3k2+1

，根據(jù)k無關(guān)求出m的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓離心率為

6

3

，∴

c

a

=

6

3

，則

b2

a2

=

1

3

．
又∵橢圓過點（

2

，1），代入橢圓方程，得

2

a2

+

1

b2

=1．所以a2=5，b2=

5

3

．
∴橢圓方程為

x2

5

+

3y2

5

=1，即x²+3y²=5．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線L過點C（-1，0）且斜率為k，∴直線方程為y=k（x+1），
由

x2+3y2=5 y=k(x+1)

得，（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．…（6分）
∵線段AB的中點的橫坐標(biāo)為-

1

2

，∴x1+x2=2×(-

1

2

)=-1，
即x1+x2=

-6k2

3k2+1

=-1，解得K=±

3

3

…（8分）
（Ⅲ）在x軸上存在點M(

1

6

，0)，使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與K無關(guān)的常數(shù)．…（5分）
證明：假設(shè)在x軸上存在點M（m，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與k無關(guān)的常數(shù)，
由（Ⅱ）得，x1+x2=

-6k2

3k2+1

，x1•x2=

3k2-5

3k2+1

…（9分）
∵

MA

=(x1-m，y1)，

MB

=(x2-m，y2)，
∴

MA

•

MB

+

5

3k2+1

=(x1-m)(x2-m)+y1y1+

5

3k2+1

…（7分）

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)+ 5 3k2+1 =(1+k2)x1x2+(k21-m)(x1+x2)+m2+k2+ 5 3k2+1 =(1+k2) 3k2-5 3k2+1 +(k2-m) -6k2 3k2+1 +m2+k2+ 5 3k2+1 = -k2+6mk2+3m2k2+m2 3k2+1

…（12分）
若上式是與K無關(guān)的常數(shù)，則6m-1=0，∴m=

1

6

，
即在x軸上存在點M（

1

6

，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與K無關(guān)的常數(shù)．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的運算，以及直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，考查化簡、計算能力．