Question

已知集合A={-1，0，1}，對于數(shù)列{a_n}中，a_i∈A（i=1，2，3，…，n）．
（Ⅰ）若50項數(shù)列{a_n}滿足

50

i=1

ai=-9，

50

i=1

(ai-1)2=107，則數(shù)列{a_n}中有多少項取值為零？（

n

i=1

ai=a1+a2+…+an ， n∈N*）
（Ⅱ）若各項非零數(shù)列{a_n}和新數(shù)列{b_n}滿足b_i-b_i-1=a_i-1（i=2，3，…，n）．
（�。┤羰醉梑₁=0，末項b_n=n-1，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（ⅱ）若首項b₁=0，末項b_n=0，記數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n的最大值和最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}中項為1，-1，0分別有x，y，z項，依題意，解方程組

x+y+z=50  x-y=-9  z+4y=107

即可；
（Ⅱ）依題意知，b_i=a₁+a₂+…+a_i-1（i=2，3，…，n），分若a_i=1（i=1，2，…，n-1）與若a₁，a₂，…，a_n-1中有p（p＞0，p∈N^*）個-1兩種情況討論，即可證得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（ⅱ）依題意知，b_i=a₁+a₂+…+a_i-1（i=2，3，…，n），又b_n=0，故a₁+a₂+…+a_n-1=0，而a_i∈{-1，1}，于是知n為正奇數(shù)，且a₁，a₂，…，a_n-1中有

n-1

2

個1和

n-1

2

個-1，S_n=（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+a_n-1，通過對S_n的最值情況的討論與分析，即可求得S_n的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}中項為1，-1，0分別有x，y，z項．由題意知

x+y+z=50  x-y=-9  z+4y=107

解得z=11．所以數(shù)列{a_n}中有11項取值為零．               
（Ⅱ）（�。゛_i∈{-1，1}且b_i-b_i-1=a_i-1，得到b_i=a₁+a₂+…+a_i-1（i=2，3，…，n），
若a_i=1（i=1，2，…，n-1），則滿足b_n=n-1．此時b_i-b_i-1=1，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
若a₁，a₂，…，a_n-1中有p（p＞0，p∈N^*）個-1，則b_n=n-1-2p≠n-1不滿足題意；
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．                                  
（ⅱ）∵數(shù)列{b_n}滿足b_i-b_i-1=a_i-1，
∴b_i=a₁+a₂+…+a_i-1（i=2，3，…，n），
根據(jù)題意有末項b_n=0，故a₁+a₂+…+a_n-1=0，而a_i∈{-1，1}，
∴n為正奇數(shù)，且a₁，a₂，…，a_n-1中有

n-1

2

個1和

n-1

2

個-1．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=a₁+（a₁+a₂）+…+（a₁+a₂+…+a_n-1）
=（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+a_n-1，
要求S_n的最大值，則只需a₁，a₂，…，a_n-1前

n-1

2

項取1，后

n-1

2

項取-1，
∴（S_n）_max=（n-2）+（n-4）+…+1=

(n-1)2

4

（n為正奇數(shù)）．
要求S_n的最小值，則只需a₁，a₂，…，a_n-1前

n-1

2

項取-1，后

n-1

2

項取1，
則（S_n）_min=-（n-2）-（n-4）+…-1=-

(n-1)2

4

（n為正奇數(shù)）．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合應用，考查抽象思維、邏輯思維，考查綜合運算能力，屬于難題．