Question

已知函數(shù)f(x)=cos2x+2cos(

π

2

-x)+a-2
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在[-

π

6

，

5π

6

]上的值域；
（2）當a為何值時，方程f（x）=0在[0，2π）上有兩個解．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的零點

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）將a=1代入f（x），利用二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導公式化簡，整理后得到關于sinx的式子，設t=sinx，確定出t的范圍，得到關于t的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質求出f（x）的值域即可；
（2）由第一問確定的解析式代入f（x）=0，根據方程在[0，2π）上有兩個解，令t=sinx，利用正弦函數(shù)的值域確定出t的范圍，令g（t）=2t²-2t+1，分類討論a的范圍，得到滿足題意a的范圍即可．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=cos2x-1+2cos（

π

2

-x）=-2sin²x+2sinx，
令t=sinx，-

1

2

≤t≤1，得到f（t）=-2t²+2t=-2（t-

1

2

）²+

1

2

，
∵a=-2＜0，即二次函數(shù)開口向下，
∴f（x）最大值為

1

2

，最小值為-

3

2

，
則f（x）的值域為[-

3

2

，

1

2

]；
（2）f（x）=2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π）上有兩個解，
令t=sinx，-1≤t≤1，得：2t²-2t+1=a，
令g（t）=2t²-2t+1，
當1＜a＜5時，關于t的方程2t²-2t+1=a在[-1，1]上有一解，-1＜t＜0，
此時方程t=sinx在[0，2π）上有兩個解；
當a=5時，關于t的方程2t²-2t+1=a在[-1，1]上有一解，t=-1，
此時唯一解x=

3π

2

；
當a=1時，關于t的方程2t²-2t+1=a在[-1，1]上有兩解，t₁=0，t₂=1，
此時有三解；
當a=

1

2

時，t=

1

2

，得到x=

π

6

或x=

5π

6

，
此時有兩解，
綜上，a∈（1，5）或a=

1

2

．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，以及函數(shù)的零點，弄清題意是解本題的關鍵．