Question

已知x∈[

1

27

，

1

9

]，函數(shù)f（x）=log₃

x

27

×log33x
（1）求函數(shù)f（x）最大值和最小值；
（2）若方程f（x）+m=0有兩根α，β，試求αβ的值

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)變形f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3，令log₃x=t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決．
（2）方程f（x）+m=0有兩根α，β，令log₃x=t，則t²-2t-3+m=0也有兩根，再用韋達定理求解．

解答：解：（1）f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3
令log₃x=t，由x∈[

1

27

，

1

9

]得，t∈[-3，-2]
∴y=t²-2t-3，t∈[-3，-2]
當t=-3時，y_max=12
當t=-2時，y_min=5
（2）（log₃x）²-2log₃x-3+m=0，有兩個根α、β
令log₃x=t，則t²-2t-3+m=0也有兩根，不妨設(shè)t₁=log₃α，t₂=log₃β
則t₁+t₂=log₃α+log₃β=log₃（αβ）=2
∴αβ=9

點評：本題主要考查一般函數(shù)通過變形轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)解決問題的能力．