Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x+1）ex和函數(shù)g（x）=（ex﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）判斷函數(shù)g（x）的極值點的個數(shù)，并說明理由；
（3）若函數(shù)g（x）存在極值為2a2 ， 求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)y=（x+1）ex，

∴f′（x）=ex+（x+1）ex=（x+2）ex，

由f′（x）＞0得（x+2）ex＞0，

即x+2＞0，得x＞﹣2，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（﹣2，+∞）．

由f′（x）＜0得x＜﹣2，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣2）

（2）解：g′（x）=ex（x﹣1）2+（ex﹣a）（2x﹣2）=（x﹣1）（xex+ex﹣2a）=（x﹣1）（f（x）﹣2a），

當x＜﹣1時，f（x）=（x+1）ex≤0，

①當0＜a＜e時，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（﹣1）﹣2a＜0，f（1）﹣2a=2e﹣2a＞0，

則唯一x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，

當x∈（﹣∞，x0）時，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，

當x∈（x0，1）時，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＜0，

當x∈（1，+∞）時，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，

故當x=x0時，函數(shù)g（x）取得極大值，當x=1時，函數(shù)g（x）取得極小值．

②當a=e時，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）﹣2a=0，

當x∈（﹣∞，1）時，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，

當x∈（1，+∞）時，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）無極值．

③當a＞e時，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）﹣2a=2e﹣2a＜0，

f（lna）﹣2a=a（lna+1）﹣2a=a（lna﹣1）＞0，

則唯一x0∈（1，lna），使f（x0）=0，

當x∈（﹣∞，1）時，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，

當x∈（1，x0）時，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＜0，

當x∈（x0，+∞）時，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，

故當x=x0時，函數(shù)g（x）取得極小值，當x=1時，函數(shù)g（x）取得極大值．

綜上當a∈（0，e）∪（e，+∞）時，g（x）有兩個極值點，

當a=e時，g（x）無極值點

（3）解：由（2）知當0＜a＜e時，∵g（1）=0≠ ，

故g（x0）=（e ﹣a）（x0﹣1）2=2a2，①

由f（x0）=0得a= ，代入①得（e ﹣ ）（x0﹣1）2=2[ ]2，

整理得（1﹣x0）3﹣（1+x0）2e ﹣=0，

設h（x）=（1﹣x）3﹣（1+x）2ex，﹣1＜x＜1，

∵h′（x）=﹣3（1﹣x）2﹣（x+3）（1+x）ex，

∴當﹣1＜x＜1時，h′（x）＜0，

∴h（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞減，

∵h（0）=0，

∴x0=0，a= = ∈（0，e）符號題意，

當a＞e時，∵g（x0）＜g（1）=0＜a2，

∴不存在符號題意的a，

綜上當a= 時，g（x）存在極值等于a2

【解析】（1）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導數(shù)的關系即可判斷函數(shù)g（x）的極值點的個數(shù)，并說明理由；（3）根據(jù)函數(shù)的極值，建立方程關系進行求解即可求a的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值與導數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．