Question

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB= ．D，E分別為線段AB，BC上的點，且CD=DE= ，CE=2EB=2

（1）證明：DE⊥平面PCD
（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由PC⊥平面ABC，DE平面ABC，故PC⊥DE，

由CE=2，CD=DE= ，得△CDE為等腰直角三角形，故CD⊥DE，

由PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線，

故DE⊥平面PCD．

（2）解：以C為坐標(biāo)原點，分別以 的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C（0，0，0，），P（0，0，3），B（0，3，0），E（0，2，0），D（1，1，0），

=（﹣1，1，0）， =（﹣1，﹣1，3）， =（﹣1，2，0），

設(shè)平面PAD的法向量 =（x1，y1，z1），

則 ，取x=2，得 =（2，1，1），

由（1）知DE⊥平面PCD，故 =（﹣1，1，0）是平面PCD的法向量，

從而法向量 ， 的夾角的余弦值為cos＜ ， ＞= =﹣ ，

故所求二面角B﹣PD﹣C的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）由PC⊥平面ABC，得PC⊥DE，CD⊥DE，由此能證明DE⊥平面PCD．（2）以C為坐標(biāo)原點，分別以 的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣C的余弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．