Question

【題目】某學(xué)校為了解高三年級學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況，抽取甲、乙兩班，調(diào)查這兩個班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時間（單位：小時），統(tǒng)計結(jié)果繪成頻率分布直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同，甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時間在區(qū)間[2，4]的有8人．

（1）求直方圖中a的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)；
（2）從甲、乙兩個班每天平均學(xué)習(xí)時間大于10個小時的學(xué)生中任取4人參加測試，設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由直方圖知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，

解得a=0.0375，

因為甲班學(xué)習(xí)時間在區(qū)間[2，4]的有8人，

所以甲班的學(xué)生人數(shù)為 ，

所以甲、乙兩班人數(shù)均為40人．

所以甲班學(xué)習(xí)時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)為40×0.0375×2=3（人）．

（2）

解：乙班學(xué)習(xí)時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)為40×0.05×2=4（人）．

由（1）知甲班學(xué)習(xí)時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)為3人，

在兩班中學(xué)習(xí)時間大于10小時的同學(xué)共7人，

ξ的所有可能取值為0，1，2，3．

，

，

，

．

所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

【解析】（1）由直方圖能求出a的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)．（2）由已知得ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【考點精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識點，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．