已知正項數(shù)列
中，其前
項和為
，且
.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設
，
，求證：
；
（3）設
為實數(shù)，對任意滿足成等差數(shù)列的三個不等正整數(shù)
，不等式
都成立，求實數(shù)的取值范圍.
（1）
；（2）證明過程詳見解析；（3）
.
解析試題分析：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、錯位相減法、恒成立問題、基本不等式等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問，法一，利用
轉(zhuǎn)化已知表達式中的
，證明數(shù)列
為等差數(shù)列，通過，再求；法二，利用轉(zhuǎn)化，證明數(shù)列為等差數(shù)列，直接得到的通項公式；第二問，結(jié)合第一問的結(jié)論，利用錯位相減法證明不等式的右側(cè)，而
，利用放縮法，得
，從而證明了不等式的左邊，即得證；第三問，利用等差中項的概念得到m，n，k的關(guān)系，先將不等式都成立轉(zhuǎn)化為
，則關(guān)鍵是求出
的最小值，利用基本不等式求函數(shù)最值.
（1）法一：由得
當
時，
，且
，故
１分
當
時，，故
，得
，
∵正項數(shù)列，
∴
∴
是首項為
，公差為的等差數(shù)列. ４分
∴ 
，
∴ 
. 5分
法二：
當時，，且，故 1分
由得
，
當時，
∴ 
，整理得
∵正項數(shù)列，
，
∴ 
， 4分
∴
是以為首項，
為公差的等差數(shù)列，
∴ . 5分
（2）
∴
∴
∴兩式相減得
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高中必刷題系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列．
(1)求d，an；
(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝15，且a3＋1為a1＋1和a7＋1的等比中項．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式與前n項和Sn；
(2)設Tn為數(shù)列{
}的前n項和，問是否存在常數(shù)m，使Tn＝m[
＋
]，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
滿足
，向量
，
且
.
（1）求證數(shù)列
為等差數(shù)列，并求通項公式；
（2）設
，若對任意
都有
成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在無窮數(shù)列
中，
，對于任意
，都有
，
. 設
， 記使得
成立的
的最大值為
.
（1）設數(shù)列
為1，3，5，7，
，寫出
，
，
的值；
（2）若為等比數(shù)列，且
，求
的值；
（3）若
為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
將數(shù)列
按如圖所示的規(guī)律排成一個三角形數(shù)表，并同時滿足以下兩個條件：①各行的第一
個數(shù)
構(gòu)成公差為
的等差數(shù)列；②從第二行起，每行各數(shù)按從左到右的順序都構(gòu)成公比為
的等比數(shù)列.若
，
，
.
（1）求
的值；
（2）求第
行各數(shù)的和
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知
是各項為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，
成等差數(shù)列，又
．
（1）證明：
為等比數(shù)列；
（2）如果數(shù)列前3項的和為
，求數(shù)列的首項和公差；
（3）在（2）小題的前題下，令
為數(shù)列
的前
項和，求．
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中，
，
。
，求數(shù)列
的前
項和
的三個內(nèi)角
成等差數(shù)列，求證：