Question

求證:兩條平行線和同一平面所成的角相等.

Answer 1

證明:(1)當(dāng)兩條平行線中有一條和平面平行或在平面內(nèi)時(shí),則另一條直線

一定和平面平行或在平面內(nèi),這時(shí)兩條直線和平面所成的角都是0°,所以它們相等.

(2)當(dāng)兩條平行線中有一條直線和平面垂直時(shí),則另一條直線也必定和平面垂直,這時(shí)兩條

直線和平面所成的角都是90°,所以它們相等.

(3)當(dāng)兩條平行線中有一條直線是平面的斜線時(shí),設(shè)a∥b,且a、b都是平面α的斜線,斜足分別為A和B,在a、b上分別取P、Q兩點(diǎn),使P、Q在平面α的同側(cè).作PM⊥α,QN⊥α,M、N為垂足,連結(jié)AM、BN,則AM和BN分別是a、b在平面α內(nèi)的射影.所以∠PAM、∠QBN分別是a、b和平面α所成的角.

在△AMP和△BNQ中,∠AMP=∠BNQ=90°.

∵PA∥QB,PM∥QN,并且方向相同,

∴∠APM=∠BQN.

∴∠PAM=∠QBN,即斜線a、b和平面α所成的角相等.

綜上討論得,兩條平行線和同一平面所成的角相等.

小結(jié):命題:兩條平行直線和同一平面所成的角相等,是真命題.其逆命題:和同一平面成相等角的兩條直線平行,是假命題.