Question

已知函數(shù)f（x）=[x²+（1-t）x+1]e^-x（t∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底）．
（Ⅰ）若對(duì)于任意x∈（0，1），曲線y=f（x）恒在直線y=x上方，求實(shí)數(shù)t的最大值；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，b，c∈[0，1]，使得f（a）+f（b）＜f（c）？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）對(duì)于x∈（0，1），函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線y=x上方，可得x∈（0，1）時(shí)，1-t＞ex-x-

1

x

，求出右邊的最大值，即可求實(shí)數(shù)t的最大值；
（Ⅱ）假設(shè)存在a，b，c∈[0，1]，使得f（a）+f（b）＜f（c）成立，則問題等價(jià)于2f（x）_min＜f（x）_max．

解答： 解：（Ⅰ）∵對(duì)于x∈（0，1），函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線y=x上方?x∈（0，1）時(shí)，

x2+(1-t)x+1

ex

＞x?x∈（0，1）時(shí)，1-t＞ex-x-

1

x

．（*）
設(shè)g(x)=ex-x-

1

x

，x∈（0，1]，則g′(x)=ex-1+

1

x2

＞0對(duì)x∈（0，1]恒成立，
所以g(x)=ex-x-

1

x

在（0，1]上單調(diào)遞增，于是g（x）_max=g（1）=e-2；
從而，由（*）式得1-t≥e-2，即t≤3-e．
所以，t的最大值為3-e．                       …6分
（Ⅱ）假設(shè)存在a，b，c∈[0，1]，使得f（a）+f（b）＜f（c）成立，則問題等價(jià)于2f（x）_min＜f（x）_max．（**）
由（Ⅰ）知，f′(x)=

-(x-t)(x-1)

ex

．
①當(dāng)t≥1時(shí)，f'（x）≤0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，所以2f（1）＜f（0），
即2•

3-t

e

＜1，得t＞3-

e

2

．由于3-

e

2

＞1，所以t＞3-

e

2

符合題意；
②當(dāng)t≤0時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，所以2f（0）＜f（1），
即2•1＜

3-t

e

，得t＜3-2e．3-2e＜0，所以t＜3-2e也符合題意；
③當(dāng)0＜t＜1時(shí)，在x∈[0，t）上，f'（x）＜0，f（x）在[0，t）上單調(diào)遞減；
在x∈（t，1]上，f'（x）＞0，f（x）在（t，1]上單調(diào)遞增；
故由（**）式知2f（t）＜max{f（0），f（1）}，即2•

t+1

et

＜max{1，

3-t

e

}．（***）
設(shè)h(t)=

t+1

et

（t∈（0，1）），則h′(t)=-

t

et

＜0恒成立，
所以h(t)=

t+1

et

在（0，1）上單調(diào)遞減，從而有h(t)=

t+1

et

＞h(1)=

2

e

．
于是2•

t+1

et

＞

4

e

，而

4

e

＞1，

4

e

＞

3-t

e

，所以（***）式不可能成立．
綜上所述，存在t∈(-∞，3-2e)∪(3-

e

2

，+∞)，使得命題成立．…13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．