【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:A1C∥平面BDC1;
(2)若AB⊥AC,且AB=AC= AA1 , 求二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.

【答案】
(1)證明:取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)A1E,CE,DE,

在四邊形A1EBD是平行四邊形,即A1E∥BD,

同理,四邊形CC1DE是平行四邊形,即CE∥C1D,

又A1E∩CE=E,∴平面A1CE∥平面BDC1,

∵A1C平面A1CE,∴A1C∥平面BDC1


(2)解:法一:延長(zhǎng)BD至F,連結(jié)A1F,使得A1F⊥DF,連結(jié)C1F,

∵AB⊥AC,∴A1B⊥A1C,

又A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,∴∠A1FC1是所求二面角的平面角,

設(shè)AB=2,又AB=AC= ,∴A1D=1,AA1=3,∴BD= ,

∵△A1DF∽△BDB1,∴ ,∴A1F= ,

∵A1C1=2,∴ ,

∴cos∠A1FC1= = .∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值為

法二:棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,A1B1⊥A1C1,

∴A1B1,A1C1,AA1兩兩垂直,

以A1為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1﹣xyz,

設(shè)AB=2,則B(3,2,0),D(0,1,0),C1(0,0,2),

=(3,1,0), =(0,﹣1,2),

設(shè)平面BDC1的法向量 =(x,y,z),

,取y=6,得 =(﹣2,6,3),

∵平面AA1DB的一個(gè)法向量 =(0,0,1)

∴cos< >= = ,

由圖知二面角A﹣BD﹣C1的平面角為多姿多彩銳角,

∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值為


【解析】(1)取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)A1E,CE,DE,推導(dǎo)出A1E∥BD,CE∥C1D,從而平面A1CE∥平面BDC1,由此能證明A1C∥平面BDC1.(2)法一:延長(zhǎng)BD至F,連結(jié)A1F,使得A1F⊥DF,連結(jié)C1F,推導(dǎo)出∠A1FC1是所求二面角的平面角,由此能求出二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.(2)法二:以A1為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1﹣xyz,利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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C.
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x

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5

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2.2

3.8

5.5

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