【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:A1C∥平面BDC1;
(2)若AB⊥AC,且AB=AC= AA1 , 求二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.
【答案】
(1)證明:取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)A1E,CE,DE,
在四邊形A1EBD是平行四邊形,即A1E∥BD,
同理,四邊形CC1DE是平行四邊形,即CE∥C1D,
又A1E∩CE=E,∴平面A1CE∥平面BDC1,
∵A1C平面A1CE,∴A1C∥平面BDC1.
(2)解:法一:延長(zhǎng)BD至F,連結(jié)A1F,使得A1F⊥DF,連結(jié)C1F,
∵AB⊥AC,∴A1B⊥A1C,
又A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,∴∠A1FC1是所求二面角的平面角,
設(shè)AB=2,又AB=AC= ,∴A1D=1,AA1=3,∴BD= ,
∵△A1DF∽△BDB1,∴ ,∴A1F= ,
∵A1C1=2,∴ ,
∴cos∠A1FC1= = .∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值為 .
法二:棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,A1B1⊥A1C1,
∴A1B1,A1C1,AA1兩兩垂直,
以A1為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1﹣xyz,
設(shè)AB=2,則B(3,2,0),D(0,1,0),C1(0,0,2),
∴ =(3,1,0), =(0,﹣1,2),
設(shè)平面BDC1的法向量 =(x,y,z),
則 ,取y=6,得 =(﹣2,6,3),
∵平面AA1DB的一個(gè)法向量 =(0,0,1)
∴cos< >= = ,
由圖知二面角A﹣BD﹣C1的平面角為多姿多彩銳角,
∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值為
【解析】(1)取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)A1E,CE,DE,推導(dǎo)出A1E∥BD,CE∥C1D,從而平面A1CE∥平面BDC1,由此能證明A1C∥平面BDC1.(2)法一:延長(zhǎng)BD至F,連結(jié)A1F,使得A1F⊥DF,連結(jié)C1F,推導(dǎo)出∠A1FC1是所求二面角的平面角,由此能求出二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.(2)法二:以A1為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1﹣xyz,利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=log2x+ax+b(a>0),若存在實(shí)數(shù)b,使得對(duì)任意的x∈[t,t+2](t>0)都有|f(x)|≤1+a,則t的最小值是( )
A.2
B.1
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】假設(shè)某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
試求:(1)y與x之間的回歸方程;
(2)當(dāng)使用年限為10年時(shí),估計(jì)維修費(fèi)用是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中,規(guī)定每人最多投3次,在A處每投進(jìn)一球得3分,在B處每投進(jìn)一球得2分;如果前兩次得分之和超過(guò)3分即停止投籃,否則投第三次,某同學(xué)在A處的命中率為0.25,在B處的命中率為0.8,該同學(xué)選擇先在A處投一球,以后都在B處投,用X表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分.
(1)求該同學(xué)投籃3次的概率;
(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:函數(shù)f(x)= (a>0且a≠1).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并加以證明;
(Ⅲ)設(shè)a=,解不等式f(x)>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】要建造一個(gè)容積為1 600立方米,深為4米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋蓄水池,池壁的造價(jià)為每平方米200元,池底的造價(jià)為每平方米100元.
(1)把總造價(jià)y元表示為池底的一邊長(zhǎng)x米的函數(shù);
(2)由于場(chǎng)地原因,蓄水池的一邊長(zhǎng)不能超過(guò)20米,問(wèn)蓄水池的這個(gè)底邊長(zhǎng)為多少時(shí)總造價(jià)最低?總造價(jià)最低是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,∈[1,+∞).
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;
(3)若對(duì)任意∈[1,+∞),>0恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中,發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中,注意力指數(shù)y與聽(tīng)課時(shí)間x(單位:分鐘)之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象,當(dāng)x∈(0,12]時(shí),圖象是二次函數(shù)圖象的一部分,其中頂點(diǎn)A(10,80),過(guò)點(diǎn)B(12,78);當(dāng)x∈[12,40]時(shí),圖象是線段BC,其中C(40,50).根據(jù)專(zhuān)家研究,當(dāng)注意力指數(shù)大于62時(shí),學(xué)習(xí)效果最佳.
(1)試求y=f(x)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)教師在什么時(shí)段內(nèi)安排內(nèi)核心內(nèi)容,能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.
(Ⅰ)證明:平面PQC⊥平面DCQ
(Ⅱ)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.
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