Question

（本小題滿分14分）已知橢圓以 為焦點(diǎn)，且離心率． 
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求的范圍。
（Ⅲ）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為，是否存在直線，滿足（Ⅱ）中的條件且使得向量與垂直？如果存在，寫(xiě)出的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）；（2）；（3）不存在滿足題設(shè)條件的.

(1)由和可求出a,進(jìn)而求出b.得到橢圓方程.
(II)設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立消得,
因?yàn)橹本�與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因而判別式大于零，從而求出k的取值范圍。
(III),然后再用k表示出來(lái)，求出，根據(jù),建立關(guān)于k的方程，解出k值,再驗(yàn)證是否符合（II）中k要求的范圍。
解：(I)設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半短軸長(zhǎng)、半焦距長(zhǎng)分別為
由題設(shè)知：1分，
由，得，2分
則3分
∴橢圓的方程為4分
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)斜率為的直線
即5分
與橢圓方程聯(lián)立消得6分
由與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)知
其得或7分
∴的范圍是。8分
（Ⅲ）設(shè)，則是的二根
則，則
則10分
由題設(shè)知，∴11分
若，須12分
得13分
∴不存在滿足題設(shè)條件的。14分