Question

設(shè)a=

∫

2 0

（2-4x³）dx+10，則（x²+

a

x

）6的展開(kāi)式中不含x⁶的系數(shù)和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：二項(xiàng)式定理

分析：求定積分得到a的值，代入，寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)T_r+1，由x的指數(shù)等于0求得r的值，則展開(kāi)式中x⁶的系數(shù)可求，進(jìn)而可得到結(jié)論．

解答： 解：∵a=

∫

2 0

（2-4x³）dx+10=(2x-x4)

|

2 0

+10=2×2-2⁴+10=-2，
∴（x²+

a

x

）⁶=（x²-

2

x

）⁶．
由Tr+1=

C

r 6

  (x2)6-r(-

2

x

)r=(-1)r•2r•

C

r 6

•x12-3r．
令12-3r=6，得r=2．
∴（x²-

2

x

）⁶的展開(kāi)式中含x⁶的系數(shù)為(-1)2•22•

C

2 6

=60，
而（x²-

2

x

）⁶的展開(kāi)式中的所有系數(shù)和為(12-

2

1

)6=1，
故（x²+

a

x

）6的展開(kāi)式中不含x⁶的系數(shù)和為1-60=-59，
故答案為：-59．

點(diǎn)評(píng)：本題考查定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，考查二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)，是中檔題．