Question

設(shè)曲線(xiàn)y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，則log₂₀₁₀x₁+log₂₀₁₀x₂+…+log₂₀₁₀x₂₀₀₉的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)方程，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵y=xⁿ⁺¹，
∴y′=（n+1）xⁿ，
令y=0，解得令x=1得在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)的斜率k=n+1，
在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)方程為y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨設(shè)y=0，x_n=

n

n+1

，
則log₂₀₁₀x₁+log₂₀₁₀x₂+…+log₂₀₁₀x₂₀₀₉=log₂₀₁₀x₁x₂…x₂₀₀₉=log₂₀₁₀（

1

2

×

2

3

×…×

2009

2010

）=log₂₀₁₀

1

2010

=-1，
故答案為：-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及數(shù)列和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．