Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=

2an

2+an

，n∈N₊．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）歸納數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由a₁=1，且a_n+1=

2an

2+an

，代入計(jì)算，可得a₁，a₂，a₃的值；
（2）由（1）猜想猜想它的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）∵a₁=1，且a_n+1=

2an

2+an

，
∴a₁=1，a₂=

2

3

，a₃=

1

2

；
（2）由（1）猜想a_n=

2

n+1

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明之，
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=

2

k+1

，則
n=k+1時(shí)，a_k+1=

2ak

2+ak

=

4 k+1

2+ 2 k+1

=

2

(k+1)+1

，
所以當(dāng)n=k+1等式成立
根據(jù)①②得a_n=

2

n+1

成立．

點(diǎn)評：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法．