Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．
（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當(dāng)PD=

2

AB=2，且V_A-PED=

1

3

時(shí)，確定點(diǎn)E的位置，即求出

PE

EB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明AC⊥平面PDB，即可證明平面AEC⊥平面PDB；
（2）利用V_A-PED=

1

3

，求出△PED的面積，再求出PE，EB，即可求出

PE

EB

的值．

解答： （（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形ABCD，∴AC⊥DB．
∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩PB=P，
∴AC⊥面PDB，
∵AC?面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB；
（2）解：設(shè)AC∩BD=O，則AO⊥BD
∵AO⊥PD，BD∩PD=D，
∴AO⊥面PDE，
∵AO=1，V_A-PED=

1

3

•AO•S_△PDE=

1

3

，
∴S_△PDE=1
在直角三角形ADB中，DB=PD=2，則PB=

2

∴Rt△PDB中斜邊PB的高h(yuǎn)=

2

，
∴

1

2

•h•PE=1，
∴PE=

2

，
∴

PE

EB

=1
即E為PB的中點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查面面垂直，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．