Question

【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，

(1)判定函數(shù)在的單調(diào)性,并用定義證明；

(2)設(shè)方程有四個不相等的實根．

①證明：；

②在是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，且的取值范圍為，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 在上單調(diào)遞增.證明見解析； (2) ①見證明；②存在，的取值范圍為

【解析】

(1)先判斷后按照定義法證明單調(diào)性的步驟進(jìn)行證明即可;

(2) ①根據(jù)絕對值的性質(zhì)，原方程可以轉(zhuǎn)化為：或，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以證明出；

②畫出函數(shù)的簡圖，結(jié)合①可以確定的取值范圍，結(jié)合圖象可以確定函數(shù)的單調(diào)性，這樣可以進(jìn)行分類討論，利用構(gòu)造新函數(shù)、代數(shù)式的恒等變形、二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，且的取值范圍為，最后可以求出的取值范圍.

(1)在上單調(diào)遞增.

證明:任取,，且.

∵

其中，，，

∴

∴在上單調(diào)遞增.

(2)①或

即或

∵為方程的四個不相等的實根

∴由根與系數(shù)的關(guān)系得

②如圖，

可知，在區(qū)間、上均為單調(diào)函數(shù)

(i)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增

則,即,在有兩個不等實根

而令,則

由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得，

(ii)當(dāng)時，在上單調(diào)遞減

則,兩式相除整理得

∴,∴,∴

由,得

∴

綜上，的取值范圍為