Question

已知函數(shù)f（x）=x²+px+q，g（x）=（ax+b）e^x（p，q，a，b，m∈R），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）若x≥-2時(shí)，f（x）≤mg（x），求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對(duì)f（x），g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點(diǎn)處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過(guò)點(diǎn)P（0，2），從而解出a，b，c，d的值；
（2）由（1）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)m的討論，判斷出F（x）的最值，從而判斷出f（x）≤mg（x）恒成立，從而求出m的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=2x+p，g′（x）=（ax+a+b）e^x，由題意思得：

f(0)=q=2 f′(0)=p=4

得f（x）=x²+4x+2，

g(0)=b=2 g′(0)=a+b=4

得

a=2 b=2

，
∴g（x）=2（x+1）e^x；
（2）由（1）知，f（x）=x²+4x+2，g（x）=2e^x（x+1）
設(shè)F（x）=mg（x）-f（x）=2me^x（x+1）-x²-4x-2，則F′（x）=2me^x（x+2）-2x-4=2（x+2）（me^x-1），
由題設(shè)得F（0）≥0，即m≥1，令F′（x）=0，得x₁=-lnk，x₂=-2，
①若1≤m≤e²，則-2＜x₁≤0，從而當(dāng)x∈（-2，x₁）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
即F（x）在（-2，x₁）上減，在（x₁，+∞）上是增，故F（x）在[-2，+∞）上的最小值為F（x₁），
而F（x₁）=-x₁（x₁+2）≥0，x≥-2時(shí)F（x）≥0，即f（x）≤mg（x）恒成立，
②若m=e²，則F′（x）=2e²（x+2）（e^x-e^-2），從而當(dāng)x∈（-2，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
即F（x）在（-2，+∞）上是遞增，而f（-2）=0，故當(dāng)x≥-2時(shí)，f（x）≥0，即f（x）≤mg（x）恒成立，
③若m＞e²時(shí)，則F′（-2）=-2me^-2+2=-2e^-2（m-e²）＜0，故當(dāng)x≥-2時(shí)，f（x）≤mg（x）不可能成立，
綜上，m的取值范圍是[1，e²]．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，解題的關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì)，此題是一道較難的題．