Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A（-4，0）和C（4，0），頂點(diǎn)B在雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1的右支上，則

sinC-sinA

sinB

等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),正弦定理

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，算出A、C恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)，焦距|AC|=8．由雙曲線的定義，算出|AB|-|CB|=6，再利用正弦定理加以計(jì)算即可得到

sinC-sinA

sinB

的值．

解答： 解：∵雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1中，a=3，b=

7

∴c=

a2+b2

=4，
∴A、C恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)，焦距|AC|=8
根據(jù)雙曲線的定義，得||AB|-|CB||=2a=6，
∵頂點(diǎn)B在雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1的右支上，
∴|AB|-|CB|=6，
△ABC中，根據(jù)正弦定理，得

sinC-sinA

sinB

=

|AB|-|CB|

|AC|

=

3

4

，
故答案為：

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線上，求三角函數(shù)式的值．著重考查了雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、正弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．