【題目】設(shè),已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn), 的導(dǎo)函數(shù).

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)設(shè),函數(shù),求證:

(Ⅲ)求證:存在大于0的常數(shù),使得對(duì)于任意的正整數(shù),且 滿足.

【答案】(Ⅰ)增區(qū)間是, ,遞減區(qū)間是.(Ⅱ)見(jiàn)解析;(III)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:由于,所以判斷的單調(diào)性,需要對(duì)二次求導(dǎo),根據(jù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,給出單調(diào)區(qū)間;由,得 ,.令函數(shù), 分別求導(dǎo)證明.有關(guān)零點(diǎn)問(wèn)題,利用函數(shù)的單調(diào)性了解函數(shù)的圖像情況,對(duì)極值作出相應(yīng)的要求可控制零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

試題解析:(Ⅰ)解:由,可得

進(jìn)而可得.令,解得,或.

當(dāng)x變化時(shí), 的變化情況如下表:

x

+

-

+

所以, 的單調(diào)遞增區(qū)間是, ,單調(diào)遞減區(qū)間是.

(Ⅱ)證明:由,得,

.

令函數(shù),則.由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí), ,故當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增.因此,當(dāng)時(shí), ,可得.

令函數(shù),則.由(Ⅰ)知, 上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減.因此,當(dāng)時(shí), ,可得.

所以, .

(III)證明:對(duì)于任意的正整數(shù) , ,且,

,函數(shù).

由(II)知,當(dāng)時(shí), 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn);

當(dāng)時(shí), 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).

所以內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),不妨設(shè)為,則.

由(I)知上單調(diào)遞增,故,

于是.

因?yàn)楫?dāng)時(shí), ,故上單調(diào)遞增,

所以在區(qū)間上除外沒(méi)有其他的零點(diǎn),而,故.

又因?yàn)?/span> , 均為整數(shù),所以是正整數(shù),

從而.

所以.所以,只要取,就有.

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