Question

【題目】已知是拋物線上一點， 到直線的距離為， 到的準線的距離為，且的最小值為．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）直線交于點，直線交于點，線段的中點分別為，若，直線的斜率為，求證：直線恒過定點．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ） 的最小值等價于點到直線的距離， ∴，解得，從而可得結果；（Ⅱ）設，由可得，由中點坐標公式以及斜率公式可得的斜率，直線的方程可化為，從而可得結果.

試題解析：（Ⅰ）拋物線的焦點為，由拋物線的定義可得，

則，其最小值為點到直線的距離， ∴，解得（舍去負值），

∴拋物線的方程為．

（Ⅱ）設，由可得， 則，所以 ∴的中點的坐標為，

同理可得點的坐標為，則直線的斜率，則，

則直線的方程可化為，即，令可得，∴直線恒過定點．