Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任一點(diǎn)到其上頂點(diǎn)的最大距離恰好等于該橢圓的中心到其準(zhǔn)線的距離，則該橢圓的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓上點(diǎn)為（acosθ，bsinθ）進(jìn)而求得到上頂點(diǎn)距離的平方進(jìn)而看

b2

c2

≤1和

b2

c2

＞1時(shí)，橢圓上點(diǎn)到上頂點(diǎn)距離恰好是中心到準(zhǔn)線距離的最大值，進(jìn)而求得a和c的不等式關(guān)系求得e的范圍．

解答：解：設(shè)橢圓上點(diǎn)為（acosθ，bsinθ）
其到上頂點(diǎn)距離的平方為（acosθ）²+（b-bsinθ）²=a²+b²-2b²sinθ-c²（sinθ）²
若

b2

c2

≤1，則最大值為a²+b²+

b4

c2

=

a4

c2

所以此時(shí)橢圓上點(diǎn)到上頂點(diǎn)距離恰好是中心到準(zhǔn)線距離，
所以e的范圍滿足

b2

c2

≤1，
即：c²≥b²=a²-c²
2c²≥a²
∴

2

2

≤e＜1
若

b2

c2

＞1，則最大值為4b²，它要等于

a4

c2

a⁴=4c2（a²-c²）
所以a²=2c²，此時(shí)b²=c²，舍去
故答案為[

2

2

，1)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生邏輯推理和基本運(yùn)算能力．