Question

【題目】已知橢圓C：（a＞0，b＞0）的短軸長為2 ， 且離心率e= ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設F1、F2是橢圓的左、右焦點，過F2的直線與橢圓相交于P、Q兩點，求△F1PQ面積的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C：（a＞0，b＞0）的短軸長為2，且離心率e=，
∴，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程是．
（Ⅱ）設直線PQ的方程為x=ty+1，
代入，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，
∴，，
設P（x1 ， y1）＜Q（x2 ， y2），
則==|y1﹣y2|=12，
令u=∈[1，+∞），
則=，
∵y=3在[1，+∞）上是增函數，
∴當μ=1，即t=0時，（）min=3．
∴△F1PQ面積的最小值是3．
【解析】（Ⅰ）由橢圓的短軸長為2 ， 且離心率e= ， 列出方程組，求出a=2，b=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線PQ的方程為x=ty+1，代入 ， 得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韋達定理、弦長公式、換元法、函數單調性，結合已知條件能求出△F1PQ面積的最小值．