Question

【題目】已知函數(shù)，求證：

（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；

（2）在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，說明其單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得在有唯一零點(diǎn)，從而得證；

（2）結(jié)合（1）的單調(diào)性利用零點(diǎn)存在性定理證明上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)無零點(diǎn).

解：（1）因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，

所以即在單調(diào)遞減，

又，，且圖像是不間斷的，

由零點(diǎn)存在性定理可得在有唯一零點(diǎn)，設(shè)為.

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

故在存在唯一極大值點(diǎn).

（2）因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，

所以即在單調(diào)遞減，

由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

又，，所以，

又的圖像是不間斷的，所以存在，使得；

又當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，

因，又，又的圖像是不間斷的，

所以存在，使得；

當(dāng)時(shí)，，，所以，從而在沒有零點(diǎn).

綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).