【題目】某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3 700x+45x2﹣10x3(單位:萬(wàn)元),成本函數(shù)為C(x)=460x+5 000(單位:萬(wàn)元),又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)﹣f(x).
(1)求利潤(rùn)函數(shù)P(x)及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x);(提示:利潤(rùn)=產(chǎn)值﹣成本)
(2)問(wèn)年造船量安排多少艘時(shí),可使公司造船的年利潤(rùn)最大?
(3)求邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,并說(shuō)明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么?
【答案】
(1)解:P(x)=R(x)﹣C(x)=﹣10x3+45x2+3240x﹣5000(x∈N*,且1≤x≤20);
MP(x)=P(x+1)﹣P(x)=﹣30x2+60x+3275(x∈N*,且1≤x≤19)
(2)解:P′(x)=﹣30x2+90x+3240=﹣30(x﹣12)(x+9),
∵x>0,∴P′(x)=0時(shí),x=12,
∴當(dāng)0<x<12時(shí),
P′(x)>0,當(dāng)x>12時(shí),P′(x)<0,
∴x=12時(shí),P(x)有最大值.
即年造船量安排12艘時(shí),可使公司造船的年利潤(rùn)最大
(3)解:MP(x)=﹣30x2+60x+3275=﹣30(x﹣1)2+3305.
所以,當(dāng)x≥1時(shí),MP(x)單調(diào)遞減,
所以單調(diào)減區(qū)間為[1,19],且x∈N*.
MP(x)是減函數(shù)的實(shí)際意義,隨著產(chǎn)量的增加,每艘利潤(rùn)與前一艘利潤(rùn)比較,利潤(rùn)在減少
【解析】(1)根據(jù)利潤(rùn)=產(chǎn)值﹣成本,及邊際函數(shù)Mf(x)定義得出利潤(rùn)函數(shù)P(x)及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x);(2)先對(duì)利潤(rùn)函數(shù)P(x)求導(dǎo)數(shù),P′(x)=﹣30x2+90x+3240=﹣30(x﹣12)(x+9),利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性,從而求得其最大值,即可得出年造船量安排多少艘時(shí),可使公司造船的年利潤(rùn)最大.(3)根據(jù)MP(x)=﹣30x2+60x+3275=﹣30(x﹣1)2+3305.利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究它的單調(diào)性,最后得出單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(文)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n(n+1)則a5的值為( )
A.80
B.40
C.20
D.10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題p:1∈{x|(x+2)(x﹣3)<0},命題q:={0},則下面判斷正確的是( )
A.p假q真
B.“p∨q”為真
C.“p∧q”為真
D.“¬q”為假
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合M={0,1,2},N={x|x2﹣3x+2≤0},則M∩N=( )
A.{1}
B.{2}
C.{0,1}
D.{1,2}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察以下5個(gè)等式: ﹣1=﹣1
﹣1+3=2
﹣1+3﹣5=﹣3
﹣1+3﹣5+7=4
﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5
…
照以上式子規(guī)律:
(1)寫出第6個(gè)等式,并猜想第n個(gè)等式;(n∈N*)
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第n個(gè)等式成立.(n∈N*)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)下列兩點(diǎn)的直線斜率不存在的是( 。
A.(4,2)(﹣4,1)
B.(0,3)(3,0)
C.(3,﹣1)(2,﹣1)
D.(﹣2,2)(﹣2,5)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是( )
A.若α⊥β,mα,nβ,則m⊥n
B.若α∥β,mα,nβ,則m∥n
C.若m⊥n,mα,nβ,則α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥β
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是( )
A.若d<0,則數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)
B.若數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng),則d<0
C.若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列,則對(duì)任意n∈N* , 均有Sn>0
D.若對(duì)任意n∈N* , 均有Sn>0,則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列
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