【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)設(shè)函數(shù),其中.證明:的圖象在圖象的下方.

【答案】(1) .

(2) .

(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】分析:()求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算的值,點(diǎn)斜式求出切線方程即可.

(Ⅱ)設(shè),并求導(dǎo).將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上,恒成立,或者恒成立,通過(guò)特殊值,且,確定恒成立,通過(guò)參數(shù)分離,求得實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)設(shè),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)最小值在區(qū)間,并證明. 的圖象在圖象的下方.

詳解:(Ⅰ)求導(dǎo),得,

又因?yàn)?/span>

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

(Ⅱ)設(shè)函數(shù),

求導(dǎo),得,

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),

所以在區(qū)間上,恒成立,或者恒成立,

又因?yàn)?/span>,且,

所以在區(qū)間,只能是恒成立,即恒成立.

又因?yàn)楹瘮?shù)在在區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以.

(Ⅲ)證明:設(shè).

求導(dǎo),得.

設(shè),則(其中).

所以當(dāng)時(shí),(即)為增函數(shù).

又因?yàn)?/span>,

所以,存在唯一的,使得

在區(qū)間上的情況如下:

-

0

+

所以,函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以 .

又因?yàn)?/span>,,

所以

所以,即的圖象在圖象的下方.

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工序

加工時(shí)間

3

4

2

2

2

1

緊前工序

無(wú)

無(wú)

現(xiàn)有兩臺(tái)性能相同的生產(chǎn)機(jī)器同時(shí)加工該產(chǎn)品,則完成該產(chǎn)品的最短加工時(shí)間是__________小時(shí).(假定每道工序只能安排在一臺(tái)機(jī)器上,且不能間斷).

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A. B. C. D.

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