Question

已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（0，1），且與直線y=-1相切，若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點(diǎn)，則圓C的面積的最小為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：根據(jù)由于圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（0，1）且與直線y=-1相切，所以圓心C到點(diǎn)F與到直線y=-1的距離相等，由拋物線的定義知點(diǎn)C的軌跡方程為x²=4y，根據(jù)點(diǎn)、直線間的距離公式列出方程求r的最值來(lái)求解．

解答： 解：圓C的面積的最小，圓C半徑r最小才行．
設(shè)圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²，
（0-a）²+（1-b）²=r²，
r=b+1，
聯(lián)立解得b=

a2

4

，

|3a-4b+20|

5

≤r，
r≥

|3a-4b+20|

5

=

|-a2+3a+20|

5

，
當(dāng)C（a，b）與O（0，0）在3x-4y+20＞0區(qū)域內(nèi)時(shí)，

a2

4

+1=

-a2+3a+20

5

，
解得a≤-2，或a≥

10

3

，
當(dāng)a=-2時(shí)，b=1，r=2，當(dāng)a=

10

3

時(shí)，b=

25

9

，r＞2 不符，舍．
∴圓C的面積的最小為S=4π．
故答案為：4π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的面積的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意點(diǎn)與圓、線與圓的位置關(guān)系在求圓的方程中的應(yīng)用．