Question

【題目】如圖所示，△ABC內(nèi)接于圓O，D是 的中點(diǎn)，∠BAC的平分線分別交BC和圓O于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）求證：BF是△ABE外接圓的切線；
（2）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)△ABE外接圓的圓心為O′，連結(jié)BO′并延長(zhǎng)交圓O′于G點(diǎn)，連結(jié)GE，

則∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．

因?yàn)锳F平分∠BAC，

所以 ，

所以∠FBE=∠BAE，

所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，

所以O(shè)′B⊥BF，

所以BF是△ABE外接圓的切線

（2）解：連接DF，則DF⊥BC，

所以DF是圓O的直徑，

因?yàn)锽D2+BF2=DF2，DA2+AF2=DF2，

所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2．

因?yàn)锳F平分∠BAC，

所以△ABF∽△AEC，

所以 ，

所以ABAC=AEAF=（AF﹣EF）AF，

因?yàn)椤螰BE=∠BAE，

所以△FBE∽△FAB，從而B(niǎo)F2=FEFA，

所以AB﹣AC=AF2﹣BF2，

所以BD2﹣DA2=ABAC=6

【解析】（1）設(shè)△ABE外接圓的圓心為O′，連結(jié)BO′并延長(zhǎng)交圓O′于G點(diǎn)，連結(jié)GE，則∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可證∠FBE=∠BAE，進(jìn)而證明∠FBG=90°，即可得證BF是△ABE外接圓的切線．（2）連接DF，則DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2 ， 利用相似三角形的性質(zhì)可得ABAC=AEAF=（AF﹣EF）AF，由△FBE∽△FAB，從而B(niǎo)F2=FEFA，得AB﹣AC=AF2﹣BF2 ， 進(jìn)而可求BD2﹣DA2=ABAC=6．