Question

（文）設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：（m＞0，n＞0且m≠n）的兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于4，求橢圓C的方程．
（2）如果點(diǎn)P是（1）中所得橢圓上的任意一點(diǎn)，且，求△PF₁F₂的面積．
（3）若橢圓C具有如下性質(zhì)：設(shè)M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線QM與直線QN的斜率都存在，分別記為K_QM、K_QN，那么K_QM和K_QN之積是與點(diǎn)Q位置無關(guān)的定值．試問：雙曲線（a＞0，b＞0）是否具有類似的性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．通過對(duì)上面問題進(jìn)一步研究，請(qǐng)你概括具有上述性質(zhì)的二次曲線更為一般的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓定義先求m=，再根據(jù)點(diǎn)A（1，）在橢圓上求n的值，需要主要進(jìn)行分類討論
（2）利用橢圓定義得 PF₁+PF₂=2m，PF₁²+PF₂²=4，從而有 PF₁PF₂=6，故可求△PF₁F₂的面積；
（3）設(shè)M，N是雙曲線（a＞0，b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線QM與直線QN的斜率都存在，利用點(diǎn)差法可證
解答：解：（1）當(dāng)m＞n時(shí)，由橢圓定義得 2m=4，∴m=2（2分）
又點(diǎn)A（1，）在橢圓上  所以
∴ （3分）
同理，當(dāng)m＜n時(shí)，橢圓方程 （4分）
（2）當(dāng)m＞n時(shí)，由橢圓定義得 PF₁+PF₂=2m，PF₁²+PF₂²=4
解得  PF₁PF₂=6             （8分）
所以△PF₁F₂的面積為3
同理，當(dāng)m＜n時(shí)，△PF₁F₂的面積也為3   （10分）
（3）設(shè)M，N是雙曲線（a＞0，b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線QM與直線QN的斜率都存在，分別記為K_QM，K_QN，那么K_QM，K_QN之積是與點(diǎn)Q位置無關(guān)的定值．
設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．Q（x，y）
則，
作差得（12分）
所以（14分）
設(shè)M，N是二次曲線mx²+ny²=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是二次曲線上任意一點(diǎn)，且直線QM與直線QN的斜率都存在，分別記為K_QM，K_QN，
那么     （15分）
證明  設(shè)點(diǎn)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．Q（x，y）
則mx₁²+ny₁²=1，mx²+ny²=1
作差得∴  （18分）
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是橢圓的定義，主要考查橢圓的定義，考查三角形的面積，考查點(diǎn)差法求解斜率問題，綜合性較強(qiáng)．