【題目】如圖,四邊形與
均為菱形,設(shè)
與
相交于點
,若
,且
.
(1)求證:平面
;
(2)求直線與平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析 (2)
【解析】
(1)證明平面平面
,即證
平面
;(2)連接
,
,由
,
,
兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系
.利用向量法求直線
與平面
所成角的余弦值.
(1)∵四邊形與四邊形
均為菱形,
∴,
.
∵平面
,
平面
,
平面
,
平面
,
∴平面
,
平面
,
又,
平面
,
平面
,
∴平面平面
,
又平面
,
∴平面
.
(2)連接,
,∵四邊形
為菱形,且
,
∴為等邊三角形,
∵為
中點,∴
,
又∵為
中點,且
,∴
,
又,∴
平面
.
由,
,
兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系
.
設(shè),因為四邊形
為菱形,
,
則,
,
,
∴,
,
,
,
,
,
,
,
設(shè)平面的一個法向量
,
則,取
,得
,
設(shè)直線與平面
所成角為
,
則,
∴,
∴直線與平面
所成角的余弦值為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征,是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑,正被廣泛采用.每次考試過后,考生最關(guān)心的問題是:自己的考試名次是多少?自已能否被錄取?能獲得什么樣的職位? 某單位準備通過考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用名,其中
個高薪職位和
個普薪職位.實際報名人數(shù)為
名,考試滿分為
分.(一般地,對于一次成功的考試來說,考試成績應(yīng)服從正態(tài)分布. )考試后考試成績的部分統(tǒng)計結(jié)果如下:
考試平均成績是分,
分及其以上的高分考生
名.
(1)最低錄取分數(shù)是多少?(結(jié)果保留為整數(shù))
(2)考生甲的成績?yōu)?/span>分,若甲被錄取,能否獲得高薪職位?若不能被錄取,請說明理由.
參考資料:(1)當時,令
,則
.
(2)當時,
,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,等腰梯形中,
,
,
,
為
中點,
與
交于點
,將
沿
折起,使點
到達點
的位置(
平面
).
(1)證明:平面平面
;
(2)若,試判斷線段
上是否存在一點
(不含端點),使得直線
與平面
所成角的正弦值為
,若存在,求出
的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記矩陣中的第
行第
列上的元素為
,現(xiàn)對矩陣
中的元素按如下算法所示的步驟作變動(直到不能變動為止):若
,則
,
,
,若
,則不變動,這樣得到矩陣B,再對矩陣B中的元素按如下算法所示的步驟作變動(直到不能變動為止):若
,則
,
,
;若
,則不變動,這樣得到矩陣
,則
________;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直角坐標系的原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,并在兩種坐標系中取相同的長度單位已知直線l的參數(shù)方程為(
為參數(shù),
),拋物線C的普通方程為
.
(1)求拋物線C的準線的極坐標方程;
(2)設(shè)直線l與拋物線C相交于A,B兩點,求的最小值及此時
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)閱兵領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室介紹,2019年國慶70周年閱兵有59個方(梯)隊和聯(lián)合軍樂團,總規(guī)模約1.5萬人,是近幾次閱兵中規(guī)模最大的一次.其中,徒步方隊15個.為了保證閱兵式時隊列保持整齊,各個方隊對受閱隊員的身高也有著非常嚴格的限制,太高或太矮都不行.徒步方隊隊員,男性身高普遍在175cm至185cm之間;女性身高普遍在163cm至175cm之間,這是常規(guī)標準.要求最為嚴格的三軍儀仗隊,其隊員的身高一般都在184cm至190cm之間.經(jīng)過隨機調(diào)查某個閱兵陣營中女子100人,得到她們身高的直方圖,如圖,記C為事件:“某一閱兵女子身高不低于169cm”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.5.
(1)求直方圖中a,b的值;
(2)估計這個陣營女子身高的平均值 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
⑵如果對于任意的,
總成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況,對2019年元旦期間的90位游客購買情況進行統(tǒng)計,得到如下人數(shù)分布表.
購買金額(元) | ||||||
人數(shù) | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)求購買金額不少于45元的頻率;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有
的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).
不少于60元 | 少于60元 | 合計 | |
男 | 40 | ||
女 | 18 | ||
合計 |
附:參考公式和數(shù)據(jù):,
.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,將曲線
(
為參數(shù))上任意一點
經(jīng)過伸縮變換
后得到曲線
的圖形.以坐標原點
為極點,x軸的非負半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知直線
.
(1)求曲線的普通方程和直線
的直角坐標方程;
(2)點P為曲線上的任意一點,求點P到直線
的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標.
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