Question

設(shè)點(diǎn)P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)與圓x²+y²=a²+b²的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|

PF1

|=

3

|

PF2

|，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  3 +1

  2

• B、

  3

  +1
• C、

  3

• D、2

  3

Answer 1

分析：如圖所示，利用圓的直徑的性質(zhì)可得PF₁⊥PF₂，∠F₁PF₂=90°．由于|

PF1

|=

3

|

PF2

|，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．再利用雙曲線的定義和勾股定理可得

m= 3 n m-n=2a m2+n2=(2c)2

，化為a2(4+2

3

)=c2．
即可得到雙曲線的離心率e．

解答：解：如圖所示，
由題意可得PF₁⊥PF₂，∴∠F₁PF₂=90°．
又∵|

PF1

|=

3

|

PF2

|，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．
則

m= 3 n m-n=2a m2+n2=(2c)2

，化為a2(4+2

3

)=c2．
∴雙曲線的離心率e=

c

a

=

4+2 3

=

3

+1．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．